01 Logik

Disjunktion (ODER)

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• Aussage $A\vee B$ ist wahr, wenn einer oder beide der Aussagen wahr sind

$A$	$B$	$A\vee A$
F	F	F
F	W	W
W	F	W
W	W	W

• Es handelt sich hierbei um ein inklusives Oder

Beispiel

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$A:2+2=4$ $B:2+2=5$ $\Rightarrow$ Aussage $A\vee B$ ist wahr

$C:4+2=1$ $D:9+2=4$ $\Rightarrow$ Aussage $C\vee D$ ist falsh

Konjunktion (UND)

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• Aussage $A\wedge B$ ist wahr, wenn beide Aussagen wahr sind

$A$	$B$	$A\wedge B$
F	F	F
F	W	F
W	F	F
W	W	W

Beispiel

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$A:2+3=5$ $B:5+3=8$ $\Rightarrow$ Aussage $A\wedge B$ ist wahr

$C:3+4=7$ $D:9+9=3$ $\Rightarrow$ Aussage $C\wedge D$ ist falsch

Negation (NICHT)

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• invertiert die Aussage

$A$	$\overline{A}$	$\overline{\overline{A}}$
F	W	F
W	F	W

Beispiel

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$A:4+3=4$ $B:2+4=6$ $\Rightarrow$ Aussage $\overline{A\wedge B}$ ist wahr

$C:9+2=11$ $D:3+11=14$ $\Rightarrow$ Aussage $\overline{C\wedge D}$ ist falsch

Implikation (Folgt)

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• A impliziert B
• Wenn A dann B
• A ist hinreichend für B
• B ist notwendig für A

$A$	$B$	$A\Rightarrow B$
F	F	W
F	W	W
W	F	F
W	W	W

• Die Aussage ist wahr, wenn B wahr ist, unabhängig von A

Beispiel

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$A:2+2=5\Rightarrow$ falsch $B:3+4=2\Rightarrow$ falsch

Aussage $A\Rightarrow B$ ist wahr

$C:4+2=6\Rightarrow$ wahr $D:4+15=8\Rightarrow$ falsch

Aussage $C\Rightarrow D$ ist falsch

Satz 1.1

Äquivalente Aussagen:

$A\Rightarrow B$

$\overline{A}\vee B$

$\overline{B}\Rightarrow \overline{A}$

$A$	$B$	$\overline{A}$	$\overline{B}$	$A\Rightarrow B$	$\overline{A}\vee B$	$\overline{B}\Rightarrow \overline{A}$
F	F	W	W	W	W	W
F	W	W	F	W	W	W
W	F	F	W	F	F	F
W	W	F	F	W	W	W

Kontraposition vs Negation vs Umkehrung

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Kontraposition

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$\overline{B}\Rightarrow \overline{A}$ ist gleichwertig mit $A\Rightarrow B$

Negation

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$\overline{A\Rightarrow B}$ verneint die Aussage

Umkehrung

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$B\Rightarrow A$ weder gleichwertig mit Kontraposition noch der Negation

Äquivalenz

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• $A$ gilt, wenn $B$ gilt

$A$	$B$	$A\iff B$	$A\Rightarrow B$	$B\Rightarrow A$	($A\Rightarrow B$) $\wedge$ ($B\Rightarrow A$)
F	F	W	W	W	W
F	W	F	W	F	F
W	F	F	F	W	F
W	W	W	W	W	W

Satz 1.2

Äquivalente Aussagen:

$A\iff B$

($A\Rightarrow B$) $\wedge$ ($B\Rightarrow A$)

Beispiel

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$n\in \mathbb{N}$ ist genau dann eine gerade Zahl, wenn $n$ durch 2 teilbar ist

Allaussagen (für alle)

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Allquantor $\forall$ “für alle”

Beispiel

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$\forall x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}:x^2>0$

Existenzaussagen (es gibt)

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Existenzquantor $\exists$ “es gibt/ex existiert”

Beispiel

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$\exists x\in \mathbb{Z}:x^2=4$

Negation von Allaussagen und Existenzaussagen

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$\overline{\forall x:A(x)}\iff \exists x:\overline{(A(x))}$ $\overline{(\forall x:A(x))}\iff \exists x:\overline{(A(x))}$

$\overline{\exists :A(x)}\iff \forall x:\overline{A(x)}$

$Aussage$: “Es gibt ein Schneckenhaus, das gegen den Uhrzeigersinn gedreht ist”

$\overline{Aussage}$: “Alle Schneckenhäuser, sind nicht gegen den Uhrzeigersinn gedreht”

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