01 Zahlensysteme

Ziele:

• Zahlendarstellung zu anderen Basen (Binärzahlen, Hexadezimalzahlen)
• Konvertierung von einem in anderen Zahlensystem
• Arithmetik in anderen Zahlensystem (Rechnung)
• Darstellung im Rechner (intern)
• Vorzeichenbehaftete Zahlen im Rechner darstellen
• BCD-Codes: oft verwendete Zahlen im boole’sche System

Dezimalsystem

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$243_{10}$ $=2\cdot 100+4\cdot 10+3\cdot 1$ $=2\cdot 10^2+4\cdot 10^1+3\cdot 10^0$ ${\sum }_{i=0}^{n-1}{a}_i\cdot 10^i$

dabei ist 10 die Basis $b$ ${\sum }_{i=0}^{n-1}{a}_i\cdot b^i$

Binärsystem

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Basis $b=2$ Es gilt allgemein: $0\le a_i<b$

also: $a_i\in \{0,1\}$

bsp.: $1011_2$ $=1\cdot 2^0+1\cdot 2^1+1\cdot 2^3$ $=11_{10}$

Addition

genauso wie im Dezimalsystem:

$$\begin{array}{r}1010_2\\ +1110_2\\ 11000_2\end{array}=\begin{array}{r}10_{10}\\ +14_{10}\\ 24_{10}\end{array}$$

Subtraktion

$$\begin{array}{r}10100111_2\\ -10011100_2\\ 00001011_2\end{array}$$

Hexadezimalsystem

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Basis $b=16$ also gilt: $0\le a_i<16$

$a_i\in \{\text{0, ... , 9, A, ... , F}\}$

Dez.: 10 11 12 13 14 15 Hex.: A B. C D. E. F

$2E_{16}=0x2E$

Konversion von Dezimal in Hex

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$$\begin{array}{rlrl}42_{10}:16& =2& & \text{Rest }10(A)\\ 2:16& =0& & \text{Rest }2\\ & & & \\ 42_{10}& =2A_{16}=2\cdot 16^1+A\cdot 16^0& & \end{array}$$

Konversion zwischen Hex und Binär

$$\begin{array}{cc}\text{Bin}& \text{Hex}\\ 0000& 0\\ 0001& 1\\ 0010& 2\\ 0011& 4\\ 0100& 5\\ 0101& 6\\ 0110& 7\\ 0111& 8\\ 1000& 9\\ 1001& A\\ 1010& B\\ 1011& C\\ 1100& D\\ 1110& E\\ 1111& F\end{array}$$

• Diese Tabelle zeigt, dass man direkt konvertieren kann Beispiel $2E_{16}$:

$$\begin{array}{rl}{2}_{16}& =0010_2\\ E_{16}& =1110_2\\ \text{-> }2E_{16}& =00101110_2\end{array}$$

Rationale Zahlen

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n m $\overline{14},\overline{25}=1\cdot 10^1+4\cdot 10^0+2\cdot 10^{-1}+5\cdot 10^{-2}$

${\sum }_{-m}^{n-1}{a}_i\cdot b^i={\sum }_0^{n-1}{a}_i\cdot b^i+{\sum }_{-m}^{-1}{a}_i\cdot b^i$

in Binär umrechnen:

$$\begin{array}{rl}0,25\cdot 2& =0,5\\ 0,5\cdot 2& =1\\ & \\ \text{-> }0,25_{10}& =0,01_2\\ \text{-> }14,25_{1}0& =1110,01_2\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}0,625\cdot 2& =1,25\\ 0,25\cdot 2& =0,5\\ 0,5\cdot 2& =1\\ & \\ \text{-> }0,625_{10}& =0,101_1\end{array}$$

Periodizität

Beispiel 0,1:

$$\begin{array}{rl}0,1\cdot 2& =0,2\\ 0,2\cdot 2& =0,4\\ 0,4\cdot 2& =0,8\\ 0,8\cdot 2& =1,6\\ 0,6\cdot 2& =1,2\\ 0,2\cdot 2& =0,4\\ 0,4\cdot 2& =0,8\\ 0,8\cdot 2& =1,6\\ & \dots \\ \text{-> }& 0,00\overline{011}\end{array}$$

Zahlendarstellung Binär

$[0;2^n-1]$

$$\begin{array}{rr}000& 0\\ 001& 1\\ 010& 2\\ 011& 3\\ 100& 4\\ 101& 5\\ 110& 6\\ 111& 7\end{array}$$

N = 8 → Byte

$[0;2^8-1]$ $[0;255]$

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