01 Formen einer booleschen Funktion

Darstellung einer Funktion in Normalform

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Es sei eine boolesche Funktion $f(x_1,...,x_n)$ gegeben. Diese können wir durch eine Wahrheitstabelle darstellen

Beispiel

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$x_3$	$x_2$	$x_1$	$y$
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	0

Darstellung einer Funktion in Disjunktiver Normalform

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• Es sei die vorherige boolesche Funktion gegeben
• Für die Darstellung in Disjunktiver Normalform müssen wir alle Einsmengen der Funktion als Minterme darstellen und mit einem OR verknüpfen

Definition von Minterm

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Ein Minterm wird folgendermaßen definiert:

$$\widehat{x_1}\wedge \cdots \wedge \widehat{x_n}\widehat{x_i}\{x_i,\overline{x_i}\}$$

$x_i$ hat nur die Werte $x_i$ und $\overline{x_i}$ (1 oder 0)

Beispiel

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Zuerst stellen wir die 4 Minterme auf

$x_3$	$x_2$	$x_1$	$y$
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	1	$\overline{x_3}\wedge x_2\wedge \overline{x_1}$
0	1	1	1	$\overline{x_3}\wedge x_2\wedge x_1$
1	0	0	0
1	0	1	1	$x_3\wedge \overline{x_2}\wedge x_1$
1	1	0	1	$x_3\wedge x_2\wedge \overline{x_1}$
1	1	1	0
Dann müssen wir die Minterme miteinander verknüpfen

DNF: $y=(\overline{x_3}\wedge x_2\wedge \overline{x_1})\vee (\overline{x_3}\wedge x_2\wedge x_1)\vee (x_3\wedge \overline{x_2}\wedge x_1)\vee (x_3\wedge x_2\wedge \overline{x_1})$

Darstellung einer Funktion in Konjunktiver Normalform

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• Es sei die vorherige boolesche Funktion gegeben
• Für die Darstellung in Konjunktiver Normalform müssen wir alle Nullermengen der Funktion als Maxterme darstellen und mit einem AND verknüpfen

Definition von Maxterm

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Ein Maxterm wird folgendermaßen definiert:

$$\widehat{x_1}\vee \cdots \vee \widehat{x_n}\widehat{x_i}\{x_i,\overline{x_i}\}$$

Beispiel

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Zuerst stellen wir die 4 Maxterme auf

$x_3$	$x_2$	$x_1$	$y$
0	0	0	0	$\overline{x_3}\vee \overline{x_2}\vee \overline{x_1}$
0	0	1	0	$\overline{x_3}\vee \overline{x_2}\vee x_1$
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	0	$x_3\vee \overline{x_2}\vee \overline{x_1}$
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	0	$x_3\vee x_2\vee x_1$
Anschließend verknüpfen wir die Maxterme miteinander

KNF: $y=(\overline{x_3}\vee \overline{x_2}\vee \overline{x_1})\wedge (\overline{x_3}\vee \overline{x_2}\vee x_1)\wedge (x_3\vee \overline{x_2}\vee \overline{x_1})\wedge (x_3\vee x_2\vee x_1)$

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