01 Einführung zum Zeilen- und Spaltenbild

Zeilenbild

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Gegeben:

• $n$ lineare Gleichungen
• $n$ Unbekannte in den Gleichungen
  • mit $n\in \mathbb{N}$

Beispiel: (Lineares Gleichungssystem mit $n=2$

$$\begin{array}{rl}2x+y& =0\text{1. Zeile / Gleichung}\\ -x+2y& =5\text{2. Zeile / Gleichung}\end{array}$$

Matrixform:

$$\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 5\end{array}\right]\Rightarrow A\cdot \vec{x}=\vec{b}$$

• erster Teil = $A$
• zweiter Teil = $\vec{x}$
• dritter Teil = $\vec{b}$

$$\begin{array}{rlrl}& \text{1. Zeile: }& 2x+y=0& \Rightarrow y=-2x\\ & \text{2. Zeile: }& -x+2y=5& \Rightarrow y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\end{array}$$

Graphische Darstellung:

$\to x=-1\text{ und }y=2$ erfüllen beide lineare Gleichungen

Spaltenbild

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$$x\cdot \left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]+y\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 5\end{array}\right]$$

• Man sucht die richtige Zahlen für $x$ und $y$, sodass die die Summe von $A$ und $\vec{x}$ die Spalte $\vec{b}$ ergibt
• Gelöst wird das ganze mit $x=-1$ und $y=2$

$$-1\cdot \left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]+2\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 5\end{array}\right]$$

Linearkombination

Wenn $n$ Spalten gegeben sind also ${\vec{a}}_1,\dots ,{\vec{a}}_n$ so nennen wir diese Verknüpfung

$$\begin{array}{r}{\lambda }_1\cdot {\vec{a}}_1+\cdots +{\lambda }_n\cdot {\vec{a}}_n\end{array}$$

mit Zahlen ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\in \mathbb{R}$ eine Linearkombination dieser Spalten

Graphische Darstellung $\Rightarrow$ Man sieht, dass wir -1 mal x verwenden (blau) und 2 mal y (grün) und kommen damit auf die Spalte $\vec{b}$

Lineare Gleichungssysteme mit $n=3$

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Bsp.:

$$\begin{array}{rlr}2x-y& =0& \text{1. Zeile / Gleichung}\\ -x+2y-z& =-1& \text{2. Zeile / Gleichung}\\ -3y+4z& =0& \text{3. Zeile / Gleichung}\end{array}$$

Matrixform:

$$\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ -1& 2& -3\\ 0& -1& 4\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ -1\\ 0\end{array}\right]$$

Als Zeilenbild

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$$\begin{array}{rlrl}& \text{1. Zeile: }2x-y& =0& \Rightarrow y=-2x\\ & \text{2. Zeile: }-x+2y-3z& =-1& \Rightarrow y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}z-\frac{1}{2}\\ & \text{3. Zeile: }-3y+4z& =0& \Rightarrow y=\frac{3}{4}z\end{array}$$

$\Rightarrow$ 1. Zeile bildet eine Ebene, da man irgendeinen Wert für $z$ einsetzen kann $\Rightarrow$ 3. Zeile bildet eine Ebene, da man irgendeinen Wert für $x$ einsetzen kann

Graphische Darstellung: $\Rightarrow$ Nun nimmt man die Gerade an der sich die 2 Ebenen schneiden und zeichnet die 2. Ebene ein um den genauen Schnittpunkt zu erkennen $\Rightarrow$ Man sieht, dass sich der Schnittpunkt bei (0, 0, 0) befindet $\Rightarrow$ Auch erkennt man, dass es bei höheren $n$ immer unübersichtlicher wird. Ab $n=4,5,6,\dots$ nicht mehr vorstellbar

Als Spaltenbild

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$$x\cdot \left[\begin{array}{c}2\\ -1\\ 0\end{array}\right]+y\cdot \left[\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -3\end{array}\right]+z\cdot \left[\begin{array}{c}0\\ -1\\ 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ -1\\ 4\end{array}\right]$$

$\Rightarrow$ Wir müssen nun für $x$, $y$ und $z$ so die Werte einsetzen, damit die Summe der Spalten $A$ die Spalte $\vec{b}$ ergibt $\Rightarrow$ Beim genauen hinschauen erkennen wir, dass $z$ den selben Wert wie die Spalte $\vec{b}$ besitzt $\Rightarrow$ Damit können wir sagen, dass wir für $x$ und $y$ 0 einsetzen können und für $z=1$ damit das Gleichungssystem gelöst ist

$$0\cdot \left[\begin{array}{c}2\\ -1\\ 0\end{array}\right]+0\cdot \left[\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -3\end{array}\right]+1\cdot \left[\begin{array}{c}0\\ -1\\ 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ -1\\ 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ -1\\ 4\end{array}\right]$$

Graphische Darstellung: Anmerkung: (Man sieht $\vec{b}$ nicht, da er in $\overrightarrow{x3}$ ist, Punkt D)

• Wenn wir eine neue $\vec{b}$ Spalte haben, müssen wir die Linearkombination von neu lösen

Bsp.: (mit den alten $A$ Spalten)

$${\vec{b}}_{neu}=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ -3\end{array}\right]$$ $$x\cdot \left[\begin{array}{c}2\\ -1\\ 0\end{array}\right]+y\cdot \left[\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -3\end{array}\right]+z\cdot \left[\begin{array}{c}0\\ -1\\ 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ -3\end{array}\right]$$

$\Rightarrow$ Beim genauerem hinsehen erkennen wir, dass wir für $x=1$ und $y=1$ einsetzen müssen damit wir auf $\vec{b}$ kommen. Für $z=0$

$$1\cdot \left[\begin{array}{c}2\\ -1\\ 0\end{array}\right]+1\cdot \left[\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -3\end{array}\right]+0\cdot \left[\begin{array}{c}0\\ -1\\ 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ -1\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ -3\end{array}\right]$$

$\vec{b}$ zeigt auf den Punkt D

Kann man jede neue Spalte $\vec{b}$ berechnen?

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Als Spaltenbild

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Spaltenbild

$A\cdot \vec{x}$ ist die Linearkombination der Spalten der Matrix $A$

$$A\cdot \vec{x}=A\cdot \left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ \dots \end{array}\right]=x_1\cdot \left[\begin{array}{c}\text{1. Spalte}\\ \dots \\ \dots \end{array}\right]+x_2\cdot \left[\begin{array}{c}\text{2. Spalte}\\ \dots \\ \dots \end{array}\right]+x_3\cdot \left[\begin{array}{c}\text{3. Spalte}\\ \dots \\ \dots \end{array}\right]+\dots$$

Mit der Matrix

$$A=\left[\begin{array}{ccc}\text{1. Spalte}& \text{2. Spalte}& \dots \\ \dots & & \\ \dots & & \end{array}\right]$$

Bsp.: Neue Spalte berechnen, die sich aus $A\cdot \vec{x}$ ergibt

$$A=\left[\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& 3\end{array}\right]\vec{x}\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$$ $$A\cdot \vec{x}=\left[\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& 3\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]=1\cdot \left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]+2\cdot \left[\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}12\\ 7\end{array}\right]=\vec{b}$$

Als Zeilenbild

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Zeilenbild

$A\cdot \vec{x}$ zeilenweise Produkt berechnen

$$A\cdot \vec{x}=A\cdot \left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ \dots \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_1\cdot a_{11}+x_2\cdot a_{12}+\dots \\ x_1\cdot a_{21}+x_2\cdot a_{22}+\dots \\ \cdots \end{array}\right]$$

mit der Matrix

$$A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots \\ a_{21}& a_{22}& \dots \\ \dots & & \end{array}\right]$$

Bsp.: Neue Spalte berechnen, die sich aus $A\cdot \vec{x}$ ergibt

$$A=\left[\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& 3\end{array}\right]\vec{x}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$$ $$A\cdot \vec{x}=\left[\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& 3\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\cdot 1+5\cdot 2\\ 1\cdot 1+3\cdot 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}12\\ 7\end{array}\right]$$

Wann ist es nicht möglich auf die Spalte $\vec{b}$ zu kommen?

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Bsp.:

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 2\end{array}\right]\vec{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]\vec{b}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$$

$\Rightarrow$ Wir sehen, dass die Spalten 1 und 2 bei $A$ gleich bzw. Vielfache voneinander sind $\Rightarrow$ Alle Spalten sind Linearkombination von $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$

Lineare Abhängigkeit

Wenn mindestens eine Spalte die Linearkombination von einer anderen ist, so ist die Menge der Spalten linear abhängig Ansonsten immer *linear unabhängig

Lösbarkeit von Linearen Gleichungssystem

Die Gleichung $A\cdot \vec{x}=\vec{b}$ kann nur eindeutig auf ein $\vec{x}$ gelöst werden, wenn die Spalten von $A$ linear unabhängig ist

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