02 Eliminationsmethode

Gauß-Algorithmus

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• Mithilfe des Gauß-Algorithmus können wir Gleichungssysteme lösen

geg.:

$$\begin{array}{rlr}x+2y+z& =2& \text{1. Zeile / Gleichung}\\ 3x+8y+z& =12& \text{2. Zeile / Gleichung}\\ 4y+z& =2& \text{3. Zeile / Gleichung}\end{array}$$

ges.:

$$\begin{array}{r}x,y,z\end{array}$$

Lös.:

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 2\\ 3& 8& 1& 12\\ 0& 4& 1& 2\end{array}\right]$$

• Mithilfe von Pivot-Elemente müssen wir eine Zeilen-Stufen-Form herstellen, indem wir Nullen drunter erzeugen
• Ganz oben links bei $m=1$ anfangen
• Es gilt $m\ne 0$, sonst Zeilen vertauschen. Wir fangen an indem wir von der 2. Zeile 3 mal die 1. abziehen.

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 2\\ 0& 2& -2& 6\\ 0& 4& 1& 2\end{array}\right]$$

• Anschließend müssen wir von der letzten Zeile 2 mal die 2te Reihe abziehen.

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 2\\ 0& 2& -2& 6\\ 0& 0& 5& -10\end{array}\right]$$

• Damit haben wir jetzt eine Zeile mit nur einer Unbekannten.

Unendlich viele Lösungen und keine Lösung

Unendlich viele Lösungen: Wenn komplette letzte Zeile eine Nullzeile ist Keine Lösung: Wenn $\vec{c}$ keine Null ist aber $U$ eine Nullzeile ist

Rücksubstitution

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$$\begin{array}{rl}\Rightarrow 5z& =-10\\ z& =-2\\ & \\ 2y-2z& =6\\ 2y-2\cdot -2& =6\\ 2y+4& =6\\ 2y& =2\\ y& =1\\ & \\ x+2y+z& =2\\ x+2\cdot 1+1\cdot -2& =2\\ x+2-2& =2\\ x=2& \end{array}$$

• $\Rightarrow$ für $x=2$, $y=1$ und $z=-2$ ist das Lineare Gleichungssystem gelöst
• $\Rightarrow \mathbb{L}=\{2;1;-2\}$

Algorithmus im Detail

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Algorithmus zur Elimination

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1. Starte mit $m=1$
2. Finde $m$ Pivot-Element $\ne 0$ in $m$ Zeile. Sonst Zeilen vertauschen
3. Erzeuge Nullen unter dem $m$ Pivot-Element, mithilfe von Addition und Multiplikation der $m$ Zeile auf die nachkommende Zeile
4. Setze $m\to m+1$. Schritt 2. - 4. Wiederholen bis kein Pivot-Element ($\ne 0$) mehr gefunden wird oder keine $m$ die letzte Zeile ist
5. Die Matrix $U$ kann als obere Dreiecksmatrix abgelesen werden und die rechte Seite als $\vec{c}$

Algorithmus zur Rücksubstitution

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6. Wenn die $U$ Zeile eine Nullzeile ist aber $\vec{c}$ nicht, dann gibt es keine Lösung $\to$ AUFHÖREN!
7. Setze $m=$ letzte Zeilenzahl, welche keine “Nullzeile” ist
8. Löse $m$ Zeile nach Variable bei Pivot-Element auf
9. Setze $m\to m-1$. Wiederhole Schritt 8.-9. bis $m=1$
10. Die Lösung $\vec{x}$ kann abgelesen werden

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