04 Eliminationsmethode in Matrix-Schreibweise

• Wir können die Schritte bei der Eliminationsmethode mit dem Gauß-Algorithmus in eine Matrix $E$ speichern
• Das gibt den Vorteil, dass wir mit einer einzigen Multiplikation die Elimination durchführen

Ermittlung von der Matrix $E$ anhand eines Beispiels

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Schritt 1

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$$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 2\\ 3& 8& 1& 12\\ 0& 4& 1& 2\end{array}\right]⟶\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 2\\ 0& 2& -2& 6\\ 0& 4& 1& 2\end{array}\right]$$

• Wir multiplizieren die 1. Zeile mit $-3$ und addieren das Produkt davon auf die 2. Zeile

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -3& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 2\\ 3& 8& 1& 12\\ 0& 4& 1& 2\end{array}\right]⟶\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 2\\ 0& 2& -2& 6\\ 0& 4& 1& 2\end{array}\right]$$

• Die erste Matrix $E$ nennen wir $E_{2,1}$, da wir aus der 2. Zeile das 1. Element eliminieren

Schritt 2

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$$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 2\\ 0& 2& -2& 6\\ 0& 4& 1& 2\end{array}\right]⟶\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 2\\ 0& 2& -2& 6\\ 0& 0& 5& -10\end{array}\right]$$

• Wir multiplizieren die 2. Zeile mit $-2$ und addieren das Produkt davon auf die 3. Zeile

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& -2& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 2\\ 0& 2& -2& 6\\ 0& 4& 1& 2\end{array}\right]⟶\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 2\\ 0& 2& -2& 6\\ 0& 0& 5& -10\end{array}\right]$$

• Die zweite Matrix $E$ nenne wir $E_{3,2}$, da wir aus der 3. Zeile das 2. Element eliminieren

Schritt 3

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• Nun müssen wir die beiden Matrizen $E$ miteinander multiplizieren und dessen Produkt mit der Matrix $A$ multiplizieren

$$\begin{array}{rl}\Rightarrow E_{3,2}\cdot (E_{2,1}\cdot A)=(E_{3,2}\cdot E_{2,1})\cdot A& =\left(\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& -2& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -3& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\right)\cdot \left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 2\\ 3& 8& 1& 12\\ 0& 4& 1& 2\end{array}\right]\\ & \\ & \\ & =\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -3& 1& 0\\ 6& -2& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 2\\ 3& 8& 1& 12\\ 0& 4& 1& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 2\\ 0& 2& -2& 6\\ 0& 0& 5& -10\end{array}\right]=U\\ & \\ & \\ \Rightarrow E=E_{3,2}\cdot E_{2,1}& =\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -3& 1& 0\\ 6& -2& 1\end{array}\right]\end{array}$$

Spaltentausch

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• Mit der Matrix $E$ können wir auch einen Spaltentausch durchführen

$$\left[\begin{array}{ccc}\uparrow & \uparrow & \uparrow \\ \overrightarrow{a_1}& \overrightarrow{a_2}& \overrightarrow{a_3}\\ \downarrow & \downarrow & \downarrow \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\uparrow & \uparrow & \uparrow \\ \overrightarrow{a_2}& \overrightarrow{a_1}& \overrightarrow{a_3}\\ \downarrow & \downarrow & \downarrow \end{array}\right]\cdot$$

• In der 1. Zeile der Matrix $E$ sagen wir, dass wir die 1. Spalte mit 0 multiplizieren und danach die 2. Spalte dazu addieren
• In der 2. Zeile der Matrix $E$ sagen wir, dass wir die 2. Spalte mit 0 multiplizieren und danach die 1. Spalte dazu addieren

Beispiel

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$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{ccc}5& 3& 1\\ 9& 1& 3\\ 5& 5& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{ccccc}0\cdot 5+3\cdot 1+1\cdot 0& & 5\cdot 1+3\cdot 0+1\cdot 0& & 5\cdot 0+3\cdot 0+1\cdot 1\\ 9\cdot 0+1\cdot 1+3\cdot 0& & 9\cdot 1+1\cdot 0+3\cdot 0& & 9\cdot 0+1\cdot 0+3\cdot 1\\ 5\cdot 0+5\cdot 1+1\cdot 0& & 5\cdot 1+5\cdot 0+1\cdot 0& & 5\cdot 0+5\cdot 0+1\cdot 1\end{array}\right]\\ & \\ & =\left[\begin{array}{ccc}3& 5& 1\\ 1& 9& 3\\ 5& 5& 1\end{array}\right]\end{array}$$

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