05 Inverse Matrix

Definition

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• Die Inverse Matrix $A^{-1}$ einer quadratischen Matrix $A$ für $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ wird folgendermaßen definiert

$$\begin{array}{r}{A}^{-1}\cdot A=A\cdot A^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \dots & 0\\ 0& 1& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & 1\end{array}\right]=I_{n\times n}\end{array}$$

$\Rightarrow$ Bei recht- oder linksseitiger Multiplikation erhält man die Einheitsmatrix $I_{n\times n}$

Bedeutung der Einheitsmatrix $I$

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• Das Produkt einer quadratischen Matrix $A$ mit der passenden Einheitsmatrix $I$ ergibt wieder $A$ $\Rightarrow$ Einheitsmatrix $I$ verhält sich neutral

Motivation $I$: Analogie aus den reellen Zahlen

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• Sei die Inverse von der reellen Zahl $a$ die Variable $c$, so gilt:

$$\begin{array}{r}c\cdot a=a\cdot c=1\\ \Rightarrow c=\frac{1}{a}\text{fu¨r}a\ne 0\end{array}$$

• Die 1 ist dabei das neutrale Element

Motivation $II$: Lösen von Gleichungssystemen

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$$\begin{array}{rl}A\cdot \vec{x}=\vec{b}& \iff A^{-1}\cdot A\cdot \vec{x}=A^{-1}\cdot \vec{b}\\ & \iff I_{n\times n}\cdot \vec{x}=A^{-1}\cdot \vec{b}\\ & \iff \vec{x}=A^{-1}\cdot \vec{b}\end{array}$$

• Wir haben zuvor definiert, dass die Einheitsmatrix $I$ neutral ist $\Rightarrow$ Aus diesem Grund können wir sie aus der Gleichung rausnehmen
• Als Vergleich: $1\cdot \vec{x}=\vec{x}$

Invertierbarkeit / Singularität

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• Existiert die Inverse $A^{-1}$ einer quadratischen Matrix $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$, dann sagen wir, dass $A$ invertierbar ist
• Existiert keine Inverse $A^{-1}$, dann sagen wir, dass $A$ singulär ist
• Die Spalten der Matrix $A$ müssen linear unabhängig sein um invertierbar zu sein
• Das Gleichungssystem $A\cdot \vec{x}=\vec{0}$ muss nur mit $\vec{x}=0$ lösbar sein, damit Matrix $A$ invertierbar ist

Singuläre Matrix

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• Sehen wir uns als Beispiel die Matrix $A=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 6\end{array}\right]$ an
• Wir erkennen, dass sie linear abhängig ist, da die Spalten vielfache voneinander sind $\Rightarrow$ Die Matrix $A$ ist singulär

Rechnerische Prüfung:

$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 6\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}{b}_{1,1}& b_{1,2}\\ b_{2,1}& b_{2,2}\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\\ & \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 6\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{b}_{1,1}\\ b_{2,1}\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]\\ & \\ \Rightarrow \left(\begin{array}{rl}1\cdot b_{1,1}+3\cdot b_{2,1}& =1\\ 2\cdot b_{1,1}+6\cdot b_{2,1}& =0\end{array}\right)& \\ & \\ \text{Erste Gleichung nach b1,1 auflo¨sen und in die 2te einsetzen: }& \\ b_{1,1}& =1-3b_{2,1}\\ & \\ 2\cdot (1-3b_{2,1})+6b_{2,1}& =0\\ 2-6b_{2,1}+6b_{2,1}& =0\\ 2& =0\Rightarrow \text{nicht lo¨sbar!}\end{array}$$

Charakterisierung lineare Unabhängigkeit

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• Eine Matrix $A$ ist linear unabhängig, wenn es für $\vec{x}$ mit $x\ne 0$ keine Zahl gibt, die bei der Multiplikation von der Matrix $A$ und Vektor $\vec{x}$ als Ergebnis $\vec{0}$ ausgibt

Beispiel

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$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 6\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]\\ & \\ \left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 6\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{c}1\cdot 3+3\cdot (-1)\\ 2\cdot 3+6\cdot (-1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]\end{array}$$

$\Rightarrow$ linear abhängig da mindestens eine Spalte existiert, die die Spalte $\vec{0}$ erzeugt

Inverse einer Matrix ermitteln

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Nehmen wir dafür als Beispiel die vorherige Matrix und machen sie linear unabhängig

$$\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 7\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$

1. Gauß-Algorithmus anwenden bis man die Zeilen-Stufen-Form erreicht hat

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$$\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 0\\ 2& 7& 0& 1\end{array}\right]⟹\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 0\\ 0& 1& -2& 1\end{array}\right]$$

2. Jordan-Algorithmus anwenden um alle Pivot-Elemente auf eine 1 zu bringen und über den Pivot-Elementen die Elemente eliminieren

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$$\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 0\\ 0& 1& -2& 1\end{array}\right]⟹\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 7& -3\\ 0& 1& -2& 1\end{array}\right]$$ $$\Rightarrow A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}7& -3\\ -2& 1\end{array}\right]$$

Überprüfung:

$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 7\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}7& -3\\ -2& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}7+(-6)& -3+3\\ 14+(-14)& (-6)+7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\end{array}$$

Gauß-Jordan-Algorithmus

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Mithilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus kann man die Inverse $A^{-1}\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ einer invertierbaren Matrix $A^{n\times n}$ bestimmen

1. Folgendes Tableau aufstellen

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$A|I_{n\times n}$

2. Gauß-Algorithmus anwenden um die Zeilen-Stufen-Form zu erreichen

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$U|C$

3. Jordan-Algorithmus anwenden um die line Seite durch elementare Zeilenumformung zur Einheitsmatrix zu führen ($\Rightarrow$ Reduzierte Zeilen-Stufen-Form)

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$I_{n\times n}|A^{-1}$

4. Auf der rechten Seite haben wir nun die Inverse $A^{-1}$

Inverse von einem Produkt zweier invertierbaren Matrizen

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Wir suchen die Inverse des Produktes aus $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ und $B\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$

$$\begin{array}{rl}& (A\cdot B)\cdot (B^{-1}\cdot A^{-1})\\ & =A\cdot (B\cdot B^{-1})\cdot A^{-1}\\ & =A\cdot I_{n\times n}\cdot A^{-1}\\ & =A\cdot A^{-1}=I_{n\times x}\\ & \\ & \Rightarrow (A\cdot B{)}^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}\end{array}$$

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