06 Transponierte einer Matrix

Definition

Die Transponierte einer Matrix $A \in R^{m \times n}$ ist als $A^{T}$ definiert, in der die Zeilen und Spalten vertauscht sind

A = ↑ a_{1} ↓ ↑ a_{2} ↓ \dots ↑ a_{n} ↓ \Rightarrow A^{T} = \leftarrow a_{1} \to \leftarrow a_{2} \to ⋮ \leftarrow a_{n} \to

$\Rightarrow$ Es gilt: $A^{T} \in R^{n \times m}$

A = 178429563 \Rightarrow A^{T} = 145726893

$\Rightarrow$ Man sieht, dass die Diagonalen gleich bleiben

geg.: $A \in R^{m \times n}$ , $A \in B^{n \times p}$

(A \cdot B)^{T} = \leftarrow a_{1} \to \leftarrow a_{2} \to ⋮ \leftarrow a_{m} \to \cdot ↑ b_{1} ↓ ↑ b_{2} ↓ ... ↑ b_{p} ↓^{T} \Rightarrow (A \cdot B)^{T} = < a_{1}, b_{1} > < a_{2}, b_{1} > ⋮ < a_{m}, b_{1} > < a_{1}, b_{2} > < a_{2}, b_{2} > ⋮ < a_{m}, b_{2} > \dots \dots ⋱ \dots < a_{1}, b_{p} > < a_{2}, b_{p} > ⋮ < a_{m}, b_{p} >^{T} = < a_{1}, b_{1} > < a_{1}, b_{2} > ⋮ < a_{1}, b_{p} > < a_{2}, b_{1} > < a_{2}, b_{2} > ⋮ < a_{2}, b_{p} > \dots \dots ⋱ \dots < a_{m}, b_{1} > < a_{m}, b_{2} > ⋮ < a_{m}, b_{p} > = \leftarrow b_{1} \to \leftarrow b_{2} \to ⋮ \leftarrow b_{p} \to \cdot ↑ a_{1} ↓ ↑ a_{2} ↓ ... ↑ a_{m} ↓ = B^{T} \cdot A^{T} = B^{T} \cdot A^{T}

A \cdot A^{- 1} = I_{n \times n} \Leftrightarrow (A \cdot A^{- 1})^{T} = I_{n \times n}^{T} \Leftrightarrow (A^{- 1})^{T} \cdot A^{T} = I_{n \times n} \Rightarrow (A^{T})^{- 1} = (A^{- 1})^{T} \Rightarrow Transposition und Invertierung darf vertauscht werden

Eine Matrix $A \in R^{n \times n}$ ist symmetrisch wenn $A^{T} = A$

348460809 \cdot 348460809 \Rightarrow 348460809

Das Produkt aus $B^{T} \cdot B$ ist symmetrisch

A^{T} = (B^{T} \cdot B)^{T} = B^{T} \cdot (B^{T})^{T} = B^{T} \cdot B = A

B = [482921], B^{T} = 422891

Zeile \cdot Spalte [482921] \cdot 422891 = [245252146]

Spalte \cdot Zeile 422891 \cdot [482921] = 80801680851316135

$\Rightarrow$ Das Produkt ist in beiden Multiplikationen symmetrisch